algebra

Equivalence Relation and Partition:

An equivalence relation is a relation that satisfies the properties of reflexivity, symmetry, and transitivity. It divides a set into disjoint equivalence classes, which together form a partition of the set.

Congruence Modulo (n):

Two integers (a) and (b) are said to be congruent modulo (n) if their difference ((a-b)) is divisible by (n). It is denoted by (a \equiv b \pmod{n}).

Group:

A group is an algebraic structure consisting of a set and a binary operation that satisfies the closure, associative, identity, and inverse properties.

Simple Properties of a Group:

The identity element is unique, every element has a unique inverse, and the cancellation law holds in a group.

Subgroup:

A subgroup is a non-empty subset of a group that is itself a group under the same binary operation.

Generator of a Group:

A generator is an element from which every element of the group can be obtained by repeated application of the group operation.

Cyclic Group:

A cyclic group is a group that can be generated by a single element. Every element of the group is obtained from that generator.

Group Theory – Short Description{ hindi me}

Equivalence Relation and Partition:

Equivalence Relation ऐसा संबंध है जो Reflexive, Symmetric और Transitive गुणों को संतुष्ट करता है। यह किसी समुच्चय (Set) को अलग-अलग Equivalence Classes में विभाजित करता है, जिन्हें मिलाकर Partition प्राप्त होता है।

Congruence Modulo (n):

यदि दो संख्याओं का अंतर (n) से पूरी तरह विभाजित हो, तो वे Modulo (n) के अनुसार Congruent कहलाती हैं। इसे (a \equiv b \pmod n) द्वारा दर्शाते हैं।

Group:

Group एक ऐसा Algebraic Structure है जिसमें एक Binary Operation पर Closure, Associative, Identity तथा Inverse के गुण विद्यमान होते हैं।

Simple Properties of Group:

Group में Identity Element और Inverse Element अद्वितीय (Unique) होते हैं तथा Cancellation Law लागू होती है।

Subgroup:

किसी Group का ऐसा Subset जो उसी Operation के अंतर्गत स्वयं भी Group हो, उसे Subgroup कहते हैं।

Generator of a Group:

Group का वह Element जिससे Group के सभी Elements प्राप्त किए जा सकें, Generator कहलाता है।

Cyclic Group:

वह Group जिसके सभी Elements केवल एक Generator से प्राप्त किए जा सकते हैं, Cyclic Group कहलाता है।